একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, বৃত্তের পরিসীমা ও বর্গের পরিসীমার অনুপাত কত?

ব্যবহারিক প্রয়োজনে রেখার দৈর্ঘ্য, তলের ক্ষেত্রফল, ঘনবস্তুর আয়তন ইত্যাদি পরিমাপ করা হয়। এ রকম যেকোনো রাশি পরিমাপের ক্ষেত্রে একই জাতীয় নির্দিষ্ট পরিমাণের একটি রাশিকে একক হিসেবে গ্রহণ করা হয়। পরিমাপকৃত রাশি এবং এরূপ নির্ধারিত এককের অনুপাতই রাশিটির পরিমাপ নির্ধারণ করে।

নির্ধারিত একক সম্পর্কে প্রত্যেক পরিমাপ একটি সংখ্যা যা পরিমাপকৃত রাশিটির একক রাশির কতগুণ তা নির্দেশ করে। যেমন, বেঞ্চটি 5 মিটার লম্বা। এখানে মিটার একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য যাকে একক হিসেবে ধরা হয়েছে এবং যার তুলনায় বেঞ্চটি 5 গুণ লম্বা।

এ অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা ---

• ত্রিভুজক্ষেত্র ও চতুর্ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র প্রয়োগ করে বহুভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় এবং এতদসম্পর্কিত সমস্যা সমাধান করতে পারবে।
• বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তাংশের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে পারবে।
• বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারবে।
• বৃত্তক্ষেত্র ও তার অংশবিশেষের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে এতদ সম্পর্কিত সমস্যা সমাধান করতে পারবে।
• আয়তাকার ঘনবস্তু, ঘনক ও বেলনের ক্ষেত্রফল পরিমাপ করতে পারবে এবং এ সম্পর্কিত সমস্যা সমাধান করতে পারবে।
• সুষম ও যৌগিক ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল পরিমাপ করতে পারবে।

ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

১. সমকোণী ত্রিভুজ : 

মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে BC = a এবং AB = b BC কে ভূমি এবং AB কে উচ্চতা বিবেচনা করলে,

২. ত্রিভুজক্ষেত্রের দুই বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ দেওয়া আছে :

মনে করি, ABC ত্রিভুজের বাহুত্রয় BC = a, CA = b, AB = c । A থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব আঁকি। ধরি, উচ্চতা AD = h । কোণ C বিবেচনা করলে পাই, $\frac{AD}{CA}=\sin C$

৩. ত্রিভুজের তিন বাহু দেওয়া আছে :

মনে করি, △ABC এর BC = a, CA = b এবং AB = c । এর পরিসীমা 2s = a + b + c l AD ⊥ BC আঁকি।

ধরি, BD = x তাহলে, CD = a - x

△ABD এবং △ACD সমকোণী।

আবার,

৪.  সমবাহু ত্রিভুজ : 

মনে করি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a

৫. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ : 

মনে করি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC = a এবং BC = b

উদাহরণ ১. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি. ও ৪ সে.মি. হলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 6 সে.মি. এবং b = ৪ সে.মি.।

$\therefore$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\times 6\times 8$ বর্গ সে.মি. = 24 বর্গ সে.মি.।

উদাহরণ ২. কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য যথক্রমে 9 সে.মি. ও 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60° । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : 

মনে করি, ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 9 সে.মি. ও b = 10 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 60° I

$\therefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}ab \sin 60°$

$=\frac{1}{2}\times 9\times 10\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ বর্গ সে.মি. 38.97 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 38.97 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

উদাহরণ ৩. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সে.মি., ৪ সে.মি. ও 9 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 7 সে.মি., b = ৪ সে.মি. ও c = 9 সে.মি.।

$\therefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 26.83 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

উদাহরণ ৪. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল 3√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : 

মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার।

$\therefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ বর্গমিটার।

ত্রিভুজটির প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 1 মিটার বাড়ালে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(a+1\right)}^2$

নির্ণেয় বাহুর দৈর্ঘ্য 5.5 মিটার।

উদাহরণ ৫. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 60 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল 1200 বর্গ সে.মি. হলে সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : 

মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি b = 60 সে.মি. এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a । ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল $=\frac{b}{4}\sqrt{4a^2-b^2}$

বা, $a^2=2500$

$\therefore$ a = 50

ত্রিভুজটির সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 50 সে.মি.।

উদাহরণ ৬. একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে দুইটি রাস্তা 120° কোণে চলে গেছে। দুই জন লোক ঐ নির্দিষ্ট স্থান থেকে যথাক্রমে ঘণ্টায় 10 কিলোমিটার ও ৪ ঘণ্টায় কিলোমিটার বেগে বিপরীত দিকে রওনা হলো। 5 ঘণ্টা পরে তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব নির্ণয় কর।

সমাধান : 

মনে করি, A স্থান থেকে দুইজন লোক যথাক্রমে ঘণ্টায় 10 কিলোমিটার ও ঘণ্টায় ৪ কিলোমিটার বেগে রওনা হয়ে 5 ঘণ্টা পর যথাক্রমে B ও C স্থাণে পৌঁছালো। তাহলে, 5 ঘণ্টা পর তাদের মধ্যে সরাসরি দূরত্ব হবে BC । C থেকে BA এর বর্ধিতাংশের উপর CD লম্ব টানি।

$\therefore$ AB = 5 × 10 কিলোমিটার = 50 কিলোমিটার, AC = 5 × 8

কিলোমিটার 40 কিলোমিটার এবং ∠BAC = 120°

$\therefore$ ∠DAC = 180° - 120° = 60°

△ACD সমকোণী।

আবার, সমকোণী ত্রিভুজ BCD থেকে পাই,

নির্ণেয় দূরত্ব 78.1 কিলোমিটার (প্রায়)

উদাহরণ ৭. প্রদত্ত চিত্রের আলোকে

ক) BC বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ) BD এর মান নির্ণয় কর।

গ) △ABD ও △BCD এর ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) AB = 15, AC = 25

চতুর্ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

১. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : 

মনে করি, ABCD আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য AB = a, প্রস্থ BC = b এবং কর্ণ AC = d

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের কর্ণ আয়তক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

আয়তক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল 2 × △ABC এর ক্ষেত্রফল $=2\times \frac{1}{2}a.b=ab$

লক্ষ করি, আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা s = 2(a + b) এবং ABC ত্রিভুজটি সমকোণী।

২. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : 

মনে করি, ABCD বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং কর্ণ d

AC কর্ণ বর্গক্ষেত্রক্ষত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষত্রে বিভক্ত করে।

$\therefore$ বর্গক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল : 2 × ABC এর ক্ষেত্রফল $=2\times \frac{1}{2}a.a=a^2$ = (বাহুর দৈর্ঘ্য)²

লক্ষ করি, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা s = 4a এবং কর্ণ $d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}a$

৩. সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল :

ক) ভূমি ও উচ্চতা দেওয়া আছে :

মনে করি, ABCD সামান্তরিকক্ষেত্রের ভূমি AB = b এবং উচ্চতা DE = h । BD কর্ণ সামান্তরিকক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

$\therefore$ সামান্তরিকক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল

খ) একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং ঐ কর্ণের বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে :

মনে করি, ABCD সামান্তরিকের কর্ণ AC d এবং = এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু D থেকে AC এর উপর অঙ্কিত লম্ব DE = h । কর্ণ AC সামান্তরিকক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি = ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

$\therefore$ সামান্তরিকক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল

8. রম্বসের ক্ষেত্রফল : 

রম্বসের দুইটি কর্ণ দেওয়া আছে। মনে করি, ABCD রম্বসের কর্ণ AC = $d_{1,}$ কর্ণ BD = $d_2,$ এবং কর্ণদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে।

কর্ণ AC রম্বসক্ষেত্রটিকে সমান দুইটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে। আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে 

৫. ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : 

সমান্তরাল দুইটি বাহু এবং এদের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব দেওয়া আছে। মনে করি, ABCD ট্রাপিজিয়ামক্ষেত্রের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে AB = a. একক, CD = b একক এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব CE AF = h । কর্ণ AC ট্রাপিজিয়াম ABCD ক্ষেত্রটিকে △ABC ও △ACD ক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

ট্রাপিজিয়াম ABCD এর ক্ষেত্রফল

= △ABC এর ক্ষেত্রফল + △ACD এর ক্ষেত্রফল

উদাহরণ ৮. একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের $\frac{3}{2}$ গুণ। এর ক্ষেত্রফল 384 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা ও কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ঘরের প্রস্থ x মিটার।

নির্ণেয় পরিসীমা ৪০ মিটার এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 28.84 মিটার (প্রায়)

উদাহরণ ৯. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার। যদি এর দৈর্ঘ্য 10 মিটার কম হত তাহলে এটি একটি বর্গক্ষেত্র হত। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার।

$\therefore$ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = xy বর্গমিটার।

প্রশ্নানুসারে, xy = 2000 . . . (1) এবং x - 10 = y . . . (2)

সমীকরণ (1) এ y = x - 10 বসিয়ে পাই

x(x - 10) = 2000 বা, $x^2$ – 10x - 2000 = 0

বা, $x^2$ – 50x + 40x - 2000 = 0 বা, (x – 50) (x + 40) = 0

$\therefore$ x = 50 অথবা x = -40

কিন্তু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না। $\therefore$ x = 50

এখন, সমীকরণ (2) এ x এর মান বসিয়ে পাই, y = 50 - 10 = 40

আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য 50 মিটার এবং প্রস্থ 40 মিটার।

উদাহরণ ১০. বর্গাকার একটি মাঠের ভিতরে চারদিকে 4 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। যদি রাস্তার ক্ষেত্রফল 1 হেক্টর হয়, তবে রাস্তা বাদে মাঠের ভিতরের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : 

মনে করি, বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য x মিটার।

$\therefore$ এর ক্ষেত্রফল $x^2$ বর্গমিটার।

মাঠের ভিতরে চারদিকে 4 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের দৈর্ঘ্য = (x – 2 × 4) বা, (x – ৪) মিটার।

রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = ${\left(x-8\right)}^2$ বর্গমিটার

সুতরাং রাস্তার ক্ষেত্রফল $=x^2-{\left(x-8\right)}^2$ বর্গমিটার

আমরা জানি, 1 হেক্টর = 10000 বর্গমিটার

প্রশ্নানুসারে, $x^2$ = ${\left(x-8\right)}^2$ = 10000

বা, $x^2$ - $x^2$ + 16x – 64 = 10000

বা, 16x = 10064

$\therefore$ x = 629

রাস্তা বাদে বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল

$={\left(629-8\right)}^2$ বর্গমিটার = 385641 বর্গমিটার = 38.56 হেক্টর (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল = - 38.56 হেক্টর (প্রায়)।

উদাহরণ ১১. একটি সামান্তরিকক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ সে.মি. এবং একটি কর্ণ 24 সে.মি.। কর্ণটির বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে উক্ত কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : 

মনে করি, সামান্তরিকক্ষেত্রের একটি কর্ণ d = 24 সে. মি. এবং এর বিপরীত কৌণিক বিন্দু থেকে কর্ণের উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য h সে.মি.।

$\therefore$ সামান্তরিকক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = dh বর্গ সে.মি.

নির্ণেয় লম্বের দৈর্ঘ্য 5 সে.মি.।

উদাহরণ ১২. একটি সামান্তরিকের বাহুর দৈর্ঘ্য 12 মিটার ও ৪ মিটার এবং ক্ষুদ্রতম কর্ণটি 10 মিটার হলে, অপর কর্ণটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, ABCD সামান্তরিকের AB = a = 12 মিটার, AD = C = ৪ মিটার এবং কর্ণ BD = b 10 মিটার। D ও C থেকে AB এর উপর এবং AB এর বর্ধিতাংশের উপর DF ও CE লম্ব টানি। A, C ও B, D যোগ করি।

নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য 17.77 মিটার (প্রায়)

উদাহরণ ১৩. একটি রম্বসের একটি কর্ণ 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমিটার হলে, অপর কর্ণ এবং পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, ABCD রম্বসের কর্ণ BD = $d_1$ = 10 মিটার এবং অপর কর্ণ $d_2$ মিটার।

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

$\therefore$ রম্বসের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 13 মিটার।

রম্বসের পরিসীমা = 4 × 13 মিটার = 52 মিটার

নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য 24 মিটার এবং পরিসীমা 52 মিটার।

উদাহরণ ১৪. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথক্রমে 91 সে.মি. ও 51 সে.মি. এবং অপর বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 37 সে.মি. ও 13 সে.মি.। ট্রাপিজিয়ামটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান :

মনে করি, ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB = 91 সে.মি. CD = 51 সে.মি. থেকে। D ও C থেকে AB এর উপর যথাক্রমে DE ও CF লম্ব টানি।

$\therefore$ CDEF একটি আয়তক্ষেত্র।

$\therefore$ EF = CD = 51 সে.মি.।

ধরি, AE = x এবং DE = CF = h

$\therefore$ BF = AB – AF = 91 – (AE + EF) = 91 – ( x + 51 ) = 40 - x

সমকোণী △ADE থেকে পাই,

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 852 বর্গ সে.মি.।

সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল

সুষম বহুভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান। আবার কোণগুলোও সমান। n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের কেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করলে n সংখ্যক সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।

সুতরাং বহুভুজের ক্ষেত্রফল = n× একটি ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

ABCDEF . . . একটি সুষম বহুভুজ, যার কেন্দ্র O, বাহু n সংখ্যক এবং প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a ।  O, A; O, B যোগ করি।

ধরি △AOB এর উচ্চতা ON = h এবং △OAB = θ সুষম বহুভুজের প্রতিটি শীর্ষে উৎপন্ন কোণের পরিমান = 2θ

$\therefore$ সুষম বহুভুজের n সংখ্যক শীর্ষ কোণের সমষ্টি = 2θm

সুষম বহুভুজের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের পরিমান = 4 সমকোণ

$\therefore$ কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ ও n শীর্ষ কোণের সমষ্টি (20n + 4) সমকোণ।

△OAB এর তিন কোণের সমষ্টি = 2 সমকোণ

$\therefore$ এরূপ n সংখ্যক ত্রিভুজের কোণগুলোর সমষ্টি 2n, সমকোণ

$\therefore$ 20 · n + 4 সমকোণ = 2n সমকোণ

বা, 20 · n = (2n – 4) সমকোণ

উদাহরণ ১৫. একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিবাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : 

মনে করি, সুষম পঞ্চভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4 সে.মি.। বাহুর সংখ্যা n = 5

উদাহরণ ১৬. একটি সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে কৌণিক বিন্দুর দূরত্ব 4 মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : 

মনে করি, ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। এর কেন্দ্র O থেকে শীর্ষবিন্দুগুলো যোগ করা হলো। ফলে 6 টি সমান ক্ষেত্রবিশিষ্ট ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়।

উদাহরণ ১৭. প্রদত্ত চিত্রের আলোকে

ক) আয়তক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

খ) ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল পূর্ণসংখ্যায় নির্ণয় কর।

গ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের গ্রহণযোগ্য পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধান : 

বৃত্ত সংক্রান্ত পরিমাপ

১. বৃত্তের পরিধি

বৃত্তের দৈর্ঘ্যকে তার পরিধি বলা হয়। কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ। হলে এর পরিধি c = 27r, যেখানে = 3.14159265 . . . একটি অমূলদ সংখ্যা। এর আসন্ন মান হিসেবে 3.1416 ব্যবহার করা যায়। সুতরাং কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ জানা থাকলে এর আসন্ন মান ব্যবহার করে বৃত্তের পরিধির আসন্ন মান নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ ১৮. একটি বৃত্তের ব্যাস 26 সে.মি. হলে, এর পরিধি নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r

$\therefore$ বৃত্তের ব্যাস = 2r এবং পরিধি = $2\pi r$

প্রশ্নানুসারে, 2r = 26 বা, $r=\frac{26}{2}$ বা, r = 13 সে.মি.

$\therefore$ বৃত্তের পরিধি = 2nr = 2 × 3.1416 × 13 সে.মি. = 81.68 সে.মি. (প্রায়)

২. বৃত্তাংশের দৈর্ঘ্য

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ । এবং AB = s বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 8° কোণ উৎপন্ন করে।

বৃত্তের পরিধি = 2Ty

বৃত্তের কেন্দ্রে মোট উৎপন্ন কোণ = 360° এবং চাপ s দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের ডিগ্রি পরিমাণ θ°

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ বৃত্তচাপের সমানুপাতিক।

৩. বৃত্তক্ষেত্র ও বৃত্তকলা ক্ষেত্রফল

কোনো বৃত্ত দ্বারা বেষ্টিত এলাকাকে বৃত্তক্ষেত্র বলা হয় এবং বৃত্তটিকে এরূপ বৃত্তক্ষেত্রের সীমারেখা বলা হয়।

বৃত্তকলা : একটি চাপ ও চাপের প্রান্তবিন্দু সংশ্লিষ্ট ব্যাসার্ধ দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রকে বৃত্তকলা বলা হয়।

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধির উপর A ও B দুইটি বিন্দু হলে, ∠AOB এর অভ্যন্তরে OA ও OB ব্যাসার্ধ এবং AB চাপের সংযোগে গঠিত একটি বৃত্তকলা ৷

পূর্বের শ্রেণীতে আমরা শিখে এসেছি যে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ । হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল $={\mathrm{\pi r}}^2$

আমরা জানি, বৃত্তের কোনো চাপ দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ ঐ বৃত্তচাপের সমানুপাতিক।

সুতরাং, এ পর্যায়ে আমরা স্বীকার করে নিতে পারি যে, একই বৃত্তের দুইটি বৃত্তাংশ ক্ষেত্র এবং এরা যে চাপ দুইটির উপর দন্ডায়মান এদের পরিমাপ সমানুপাতিক।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ r। AOB বৃত্তকলা ক্ষেত্রটি APB চাপের উপর দন্ডায়মান, যার ডিগ্রি পরিমাপ θ। OA এর উপর OC লম্ব টানি।

বা, বৃত্তকলা AOB এর ক্ষেত্রফল $=\frac{\theta }{90°}\times$ বৃত্তকলা AOC এর ক্ষেত্রফল

উদাহরণ ১৯. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪ সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 56° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য এবং বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ৪ সে.মি., বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s এবং বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = 56°

উদাহরণ ২০. একটি বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির পার্থক্য 90 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r

$\therefore$ বৃত্তের ব্যাস 2r এবং পরিধি = $2\pi r$

প্রশ্নানুসারে, $2\pi r$ - 2r = 90

নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ 21.01 সে.মি. (প্রায়)

উদাহরণ ২১. একটি বৃত্তাকার মাঠের ব্যাস 124 মিটার। মাঠের সীমানা ঘেঁষে 6 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : 

মনে করি, বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ r এবং রাস্তাসহ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ R.

$\therefore r=\frac{124}{2}$ মিটার = 62 মিটার এবং R = (62 + 6) মিটার - 68 মিটার

$\therefore$ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ মাঠের ক্ষেত্রফল - মাঠের ক্ষেত্রফল

$= (\mathrm{\pi } R^2— {\mathrm{\pi r}}^2)=\pi (R^2—r^2)$

$= 3.1416(682-{62}^2) = 3.1416(4624-3844)$

= 3.1416 × 780 = 2450.44 বর্গমিটার (প্রায়)

নির্ণেয় রাস্তার ক্ষেত্রফল 2450.44 বর্গমিটার (প্রায়)

উদাহরণ ২২. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 12 সে.মি. এবং বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য 14 সে.মি.। বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 12 সে.মি., বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য S = 14 সে.মি. এবং কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের ডিগ্রি পরিমাণ θ

উদাহরণ ২৩. একটি চাকার ব্যাস 4.5 মিটার। চাকাটি 360 মিটার পথ অতিক্রম করতে কত বার ঘুরবে?

সমাধান : দেওয়া আছে, চাকার ব্যাস 4.5 মিটার।

$\therefore$ চাকাটির ব্যাসার্ধ $r=\frac{4.5}{2}=2.25$

মনে করি, চাকাটি 360 মিটার পথ অতিক্রম করতে n বার ঘুরবে।

$\therefore$ চাকাটি প্রায় 25 বার ঘুরবে।

উদাহরণ ২৪. 211 মিটার 20 সে.মি. যেতে দুইটি চাকা যথাক্রমে 32 এবং 48 বার ঘুরলো। চাকা দুইটির ব্যাসার্ধের অন্তর নির্ণয় কর।

সমাধান : 211 মিটার 20 সে.মি. = 21120 সে.মি.

মনে করি, চাকা দুইটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে R ও r যেখানে R > r

$\therefore$ চাকা দুইটির পরিধি যথাক্রমে 27R ও 2nr এবং ব্যাসার্ধের অন্তর (R – r)

চাকা দুইটির ব্যাসার্ধের অন্তর 0.35 মিটার (প্রায়)

উদাহরণ ২৫. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14 সে.মি.। একটি বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান । বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 14 সে.মি. এবং বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য a

$\therefore$ বৃত্তের ক্ষেত্রফল $\pi r^2$ এবং বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল $=a^2$

নির্ণেয় দৈর্ঘ্য 24.81 সে.মি. (প্রায়)

উদাহরণ ২৬. চিত্রে ABCD একটি বর্গক্ষেত্র যার প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য 22 মিটার এবং AED ক্ষেত্রটি একটি অর্ধবৃত্ত। সম্পূর্ণ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : 

সুতরাং, ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $a^2$

আবার, AED একটি অধিবৃত্ত

$\therefore$ অর্ধবৃত্তের ব্যাসার্ধ $r=\frac{22}{2}$ মিটার = 11 মিটার

সুতরাং, AED অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\pi r^2$

$\therefore$ সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + AED অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 674.07 বর্গমিটার (প্রায়)

উদাহরণ ২৭. চিত্রে ABCD একটি আয়তক্ষেত্র যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 মিটার ও 10 মিটার এবং DAE একটি বৃত্তাংশ। বৃত্তচাপ DE এর দৈর্ঘ্য এবং সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : 

বৃত্তাংশের ব্যাসার্ধ r = AD = 12 মিটার এবং কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = 30°

আয়তক্ষেত্র ABCD এর দৈর্ঘ্য 12 মিটার এবং প্রস্থ 10 মিটার

$\therefore$ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = 12 × 10 = 120 বর্গমিটার

$\therefore$ সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (37.7 + 120) বর্গমিটার = 157.7 বর্গমিটার (প্রায়)

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 157.7 বর্গমিটার (প্রায়)।

কাজ : চিত্রে গাঢ় চিহ্নিত ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

ঘনবস্তু (Solids)

আয়তাকার ঘনবস্তু (Rectangular solid)

তিন জোড়া সমান্তরাল আয়তাকার সমতল বা পৃষ্ঠ দ্বারা আবদ্ধ ঘনবস্তুকে আয়তাকার ঘনবস্তু বলে।

মনে করি, ABCDEFGH একটি আয়তাকার ঘনবস্তু। এর দৈর্ঘ্য AB = a, প্রস্থ BC = b, উচ্চতা AH = c

১. কর্ণ নির্ণয় : ABCDEFGH আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ AF ।

△ABC এ BC ⊥ AB এবং AC অতিভুজ।

২. সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় : আয়তাকার ঘনবস্তুটির 6 টি তল যেখানে, বিপরীত তলগুলো পরস্পর সমান।

আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল

= 2(ABCD তলের ক্ষেত্রফল + ABGH তলের ক্ষেত্রফল + BCFG তলের ক্ষেত্রফল)

= 2(AB × AD + AB × AH + BC × BG)

= 2 (ab + ac + bc ) = 2 (ab + bc + ca)

৩. আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = abc

উদাহরণ ২৮. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে, 25 সে.মি., 20 সে.মি. এবং 15 সে.মি.। এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল, আয়তন এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a = 25 সে.মি., প্রস্থ b = 20 সে.মি. এবং উচ্চতা c = 15 সে.মি.।

$\therefore$ আয়তাকার ঘনবস্তুটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 2 (ab + bc + ca)

= 2 (25 × 20 + 20 × 15 + 15 × 25 ) 2350 বর্গ সে.মি.

এবং আয়তন = abc = 25 × 20 × 15 = 7500 ঘন সে.মি.

নির্ণেয় সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 2350 বর্গ সে.মি., আয়তন 7500 ঘন সে.মি. এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য 35.363 সে.মি. (প্রায়)।

ঘনক (Cube)

আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে একে ঘনক বলা হয়।

মনে করি, ABCDEFGH একটি ঘনক। এর দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা = a একক

উদাহরণ ২৯. একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 96 বর্গমিটার। এর কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, ঘনকটির ধার a

বেলন (Cylinder)

কোনো আয়তক্ষেত্রের যে কোনো বাহুকে অক্ষ ধরে আয়তক্ষেত্রটিকে ঐ বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তুর সৃষ্টি হয়, তাকে সমবৃত্তভূমিক বেলন বা সিলিন্ডার বলা হয়। সমবৃত্তভূমিক বেলনের দুই প্রান্তকে বৃত্তাকার তল, বক্রতলকে বক্রপৃষ্ঠ এবং সমগ্রতলকে পৃষ্ঠতল বলা হয়। আয়তক্ষেত্রের অক্ষের সমান্তরাল ঘূর্ণায়মান বাহুটিকে বেলনের সৃজক বা উৎপাদক রেখা বলে।

উপরের, চিত্রটি একটি সমবৃত্তভূমিক বেলন যার ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h

১. ভূমির ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$

২. বজ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ভূমির পরিধি × উচ্চতা= $2\pi rh$

৩. সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল

বা, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=\left(\pi r^2+2\pi rh+\pi r^2\right)=2\pi r(r+h)$

৪. আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা $=\pi r^{2}h$

উদাহরণ ৩০. একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে এর আয়তন এবং সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান: মনে করি, সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা h = 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r

$\therefore$ এর আয়তন $=\pi r^{2}h$

উদাহরণ ৩১. ঢাকনাসহ একটি বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 10 সে.মি., 9 সে.মি. ও 7 সে.মি.। বাক্সটির ভিতরের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 262 বর্গ সে. মি. এবং বাক্সের পুরুত্ব সমান।

ক) বাক্সটির আয়তন নির্ণয় কর।

খ) বাক্সটির দেওয়ালের পুরুত্ব নির্ণয় কর।

গ) বাক্সটির বৃহত্তম দৈর্ঘ্যের সমান বাহুবিশিষ্ট কোনো রম্বসের একটি কর্ণ 16 সে.মি. হলে রম্বসটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান : 

ক) বাক্সটির বাইরের মাপ যথাক্রমে 10 সে.মি., 9 সে.মি. ও 7 সে.মি.

$\therefore$ বাক্সটির বাইরের আয়তন 10 × 9 × 7 = 630 ঘন সে.মি.।

খ) মনে করি, বাক্সের পুরুত্ব . ঢাকনাসহ বাক্সের বাইরের মাপ যথাক্রমে 10 সে.মি., 9 সে.মি. ও 7 সে.মি.

$\therefore$ বাক্সের ভিতরের মাপ যথাক্রমে a = (10 – 2x) সে.মি., b = (9 – 2x) সে.মি,

এবং c = (7 – 2x) সে.মি.

বাক্সের ভিতরের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 2 (ab + bc + ca)

প্রশ্নানুসারে, 2(ab + bc + ca) 262

বা, (10 - 2x) (9 - 2x) + (9 - 2x) (7 - 2x) + (7 - 2x) (10 — 2x) = 131

বা, $90-38x+4x^2+63-32x+4x^2+70-34x+4x^2-131=0$

বা, $12x^2–104x+92=0$

বা, $3x^2– 26x+23=0$

বাক্সটির পুরুত্ব তার বাইরের তিনটি পরিমাপের কোনটির চেয়েই বড় হতে পারে না।

নির্ণেয় বাক্সের পুরুত্ব 1 সে.মি.

গ) 

মনে করি, ABCD রম্বসের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সে.মি. এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।

আমরা জানি, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

উদাহরণ ৩২. কোনো ঘনকের পৃষ্ঠতলের কর্ণের দৈর্ঘ্য $8\sqrt{2}$ সে.মি. হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য ও আয়তন নির্ণয় কর।

সমাধান : মনে করি, ঘনকের ধার a

নির্ণেয় কর্ণের দৈর্ঘ্য 13.856 সে.মি. (প্রায়) এবং আয়তন 512 ঘন সে.মি.।

উদাহরণ ৩৩. কোনো আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং প্রস্থ 5 সে.মি.। একে বৃহত্তর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 সে.মি. এবং প্রস্থ 5 সে.মি.। একে বৃহত্তর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে একটি সমবৃত্তভূমিক বেলন আকৃতির ঘনবস্তু উৎপন্ন হবে, যার উচ্চতা h = 12 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r = 5 সে.মি

= 2 × 3.1416 × 5(5 + 12) 534.071 বর্গ সে.মি. (প্রায়)

এবং আয়তন $=\pi r^{2}h$

$= 3.1416 \times 5^2 \times 12 = 942.48$ ঘন সে.মি. (প্রায়)

নির্ণেয় পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 534.071 বর্গ সে.মি. (প্রায়) এবং আয়তন 942.48 ঘন সে.মি. (প্রায়)